古人是如何找到π的？

作者 | 李健辉  编辑 | 罗数君

本文转载自公众号“科研狗”

文4156字  阅读时间约11分钟

导语：

又到了一年一度的“π Day”——每年的3月14号，由于圆周率的关系，这天被称作“π Day”。众所周知的是，π是一个无穷无尽的无理数，对于如今的我们来说，在现代计算工具的帮助下，求解π已经不是什么难事。那么在过去只能手算的情况下，该怎么办呢？今天罗数君就为大家带来的这篇文章，就讲述了古人是如何找到π的。

众所周知，π=3.141592653…可以说，它是世界上最有名的无理常数了，代表的是一个圆的周长与直径之比或称为“圆周率”。公元前250年左右，阿基米德给出了“圆周率”的估计值在223/71~22/7之间，也即是在3.140845到3.142857之间。中国南北朝时期的著名数学家祖冲之首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“密率与约率”对数学的研究有重大贡献。直到15世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才以“精确到小数点后17位”打破了这一纪录。

代表“圆周率”的字母π是第十六个希腊字母的小写，也是希腊语 περιφρεια（表示周边、地域、圆周）的首字母。1706年英国数学家威廉·琼斯(William Jones, 1675-1749)最先使用“π”来表示圆周率。1736年，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler, 1707-1783)也开始用表示圆周率。从此，π便成了圆周率的代名词。

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π为什么是常数？

介绍完一些关于π的来历后，我准备着手沿着古人的方式去寻找π，但此时我发现忽略了一个重要的前提条件——为什么π是一个常数？即为什么所有圆的周长和直径之比为一个定值，这一点似乎并不能够自然而然地就得到。因此在寻找这个常数之前，先要做的应当是证明“圆的周长与直径之比确实是一个常数”。

如上图所示，以点O为圆心作两个半径不同的圆，小圆的半径为r₁，周长为c₁；大圆的半径为r₂，周长为c₂。分别作两个圆的内接正n边形（n为偶数），边长分别为k₁和k₂，且保证正两个n边形过圆心的对角线重合。

那么有OA:OD=OB:OC，∠AOB=∠COD，因此△OAB∽△OCD

所以有k₁/r₁=k₂/r₂

设小正n边形和大正n边形的周长分别为c₁’和c₂’，则有c₁’=nk₁，c₂’=nk₂

所以有c₁’/r₁=c₂’/r₂

由于当n→∞时，c₁’= c₁， c₂’= c₂，即取极限或者说是逼近的思想，当边数区域无穷，内接多边形就近似是一个圆了，后面寻找π时还会再次用到这个思想。

所以就有c₁/r₁=c₂/r₂ ，表示的是：对于半径不同的圆，其各自周长与半径的比为定值，或者说为常数，记该常数为2π，则圆的周长与直径之比为π，当然也是一个常数，证明完毕。

好，既然圆的周长和直径之比是一个常数，下一步要做的就是去寻找这个常数或它的近似值了。

我们可以从书中、从网上、从各种我们能够想到的渠道获得这个神奇的常数。不过，如果只给你一支笔、一张纸，你能否找到它的近似值呢？

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阿基米德的智慧

阿基米德(Archimedes, 287-212 BC) 在2200多年前就已经通过计算得到了精度高达99.9%的π，在他那个年代还没有定义小数，甚至连“0”的定义都没有（相传“0”是到了公元5世纪才由印度人最先用于计算之中），那么他当年是怎么计算π的呢？

阿基米德

(图片来源: Wikipedia)

在得到圆周率之前，阿基米德当然无法知道一个圆的周长，但是他可以从他知道的开始，比如正方形（实际上他用的是正六边形，为了演示方便，这里从正方形开始）。

(图片来源: betterexplained)

对于上图中一个已知直径为1的单位圆（其周长即为π），可以以其直径为边长作出其外切正方形，也可以以其直径为对角线作出其内接正方形。不管圆的周长是多少，其总满足大于内接正方形的周长，小于外切正方形的周长。

外切正方形周长：

P₄=1×4=4

内接正方形周长根据勾股定理有：

p₄≈0.7×4=2.8

假设现在π的大小未知，我们只能肯定π在2.8到4之间，先取个中间值作为π的估计值，约等于3.4。我们发现这样精度很低，因为用4边形来估算实在是太“粗糙”了，为了提高这种方法的精度，可以用边数更多的正多边形来逼近。

Archimedes pi

(图片来源: Wikipedia)

可以看出，到了正八边形时，内接八边形与外切八边形之间的“间隙”比正方形的情况小了。此时π的估算值相对于正方形的情况会有一个精度上的提升。但是，现在的问题是：八边形的周长如何计算？而且就算把八边形的周长计算出来了，那16边形、32边形岂不是精度更高，那又该怎么计算？

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正多边形逼近

下面需要用到两条基本定理：

定理一：半圆的内接三角形为直角三角形，且直角顶点在圆周上。

定理二：圆的弦所对应的圆周角为其所对应的圆心角的一半。

定理一的证明：证明半圆的内接三角形为直角三角形：

对于上图，令半径为r的半圆圆心在坐标原点，三角形的一边为半圆直径，一个顶点C在半圆的圆周上，坐标为(x,y)

则有：

根据勾股定理可知，∠ACB为90°。

定理二的证明：即“圆上同一根弦所对应的圆周角为圆心角的一半”，可以用下图证明：

对于△OBC，因为OB=OC，有β+β+2α=2β+2α=180°；对于△ABC，由定理一知：∠ACB=90°，有：β+90°+γ=180°，即β+γ=90°，因此有γ=α。即圆上的一条弦所对应的圆周角是其所对应圆心角的一半。

对于内接多边形：

如下图所示，设内接多边形的每个边的边长为S_n，每个边对应的圆心角为x

根据定理一和二，可以得出，内接多边形的边长S_n=sin(x/2)

对于外切多边形:

如下图所示，易得，外切多边形的边长为T_n=tan(x/2)

所以，对于正方形

单位圆内接正方形的周长为：

p₄=4×sin[(360°/4)/2]= 2.8284271247

单位圆外切正方形的周长为：

P₄=4×tan[(360°/4)/2]=4

而对于正八边形

单位圆内接正八边形的周长为：

p₈=8×sin[(360°/8)/2]= 3.0614674589

单位圆外切正八边形的周长为：

P₈=8×tan[(360°/8)/2]= 3.313708499

因此，对于正n边形

单位圆内接正n边形的周长为：

p_n=n×sin[(360°/n)/2]

单位圆外切正n边形的周长为：

P_n =n×tan[(360°/n)/2]

对于我们来说，问题似乎已经解决了，只要n足够大，结果就会很精确，可以通过不停地增大n直到直达到想要的精度。

但是，又忽略了一个问题！阿基米德那个时代并没有计算器，不像今天，想算sin或者tan，So easy~只需要按几个键就行了。因此，直接用三角函数计算在当时其实是行不通的！

得换换思路了！

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阿基米德迭代算法

阿基米德不愧是数学大师。为了解决这一棘手的问题，阿基米德发明了一种“迭代算法”：

为了方便计算，将内接和外切多边形的边数定为2ⁿ个，n为整数，且n≥2，如下图所示

。

内接2ⁿ边形的边长为S_n，则其周长为p_n=2ⁿ·S_n；外切2ⁿ边形的边长为T_n，则其周长为P_n=2ⁿ·T_n。

如果令正2ⁿ边形的边长所对应的圆心角为2θ，由上面的推导知：

内接正2ⁿ边形的边长S_n=sin(θ)

外切正2ⁿ边形的边长T_n=tan(θ)

那么，正2ⁿ⁺¹边形的边长所对应圆心角为θ，由上面的推导知：

内接正2ⁿ⁺¹边形的边长S_n+1=sin(θ/2)

外切正2ⁿ⁺¹边形的边长T_n+1=tan(θ/2)

有以下递推公式：

由此，可以计算外切正2ⁿ⁺¹边形的周长P_n+1：

以及内接正2ⁿ⁺¹边形的周长p_n+1：

即：

可以注意到的是：

P_n+1是p_n与P_n的“调和平均数”；

p_n+1是p_n与P_n+1的“几何平均数”。

通过这样的递推公式，可以直接以内接及外切正2ⁿ边形的周长来计算内接及外切正2ⁿ⁺¹边形的周长，成功避免了三角函数的引入。

通过递推公式，可以计算得到以下结果：

可以看出，当正多边形的边数到达64时，已经有了不错的精度，而阿基米德当年用的是正六边形，方法是一样的，他计算了正12边形、正24边形、正48边形和正96边形。那他为什么没有继续算下去？

前面已经说了，公元前250年人们还没有发明小数，人们只能用分数来近似各个根号项所得到的无理数，当近似项增多，误差就会随之增大，在这种情况下，阿基米德算到了正96边形，得到π的值在223/71~22/7之间，计算精度达到了99.9%，在那个时代已经是很高的精度了。

所以在其后的很长一段时间里，人们用22/7来近似圆周率，取的正是阿基米德计算结果所在区间的上界。

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中国人的贡献

不过，后面有人发现了一个神秘的分数：355/113，其精度居然达到了99.99999％，而发现这个数的人正是中国南北朝时期数学家祖冲之。时间大概在公元480年左右。他给出了两个分数：密率355/113和约率22/7。顾名思义就是密率精度高，约率的精度稍低一些。

祖冲之

(图片来源: Wikipedia)

密率355/113是一个很好的分数近似值，因为至少要取到52163/16604才能够比密率的精度更高一点，但这样的分数就显得不太实用了。完美主义者可能会纠结于没有找到精确的π，但要知道，发现π是一个永远都不会停止的过程，这也是其魅力之所在。没有最精确，只有更精确。

寻找π的过程就是这样神奇，一开始它的模型看起来很“粗糙”，随着边数的增多，边长的细化，计算结果越发逼近理想值，其实这就是“微积分”思想的雏形。而且有意思的是，微积分的出现最后又导致了很多更好的计算π的公式的出现。

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Reference

[1]Archimedes

https://en.wikipedia.org/wiki/Archimedes

[2]Zu Chongzhi

https://en.wikipedia.org/wiki/Zu_Chongzhi

[3]Prehistoric Calculus: Discovering Pi

https://betterexplained.com/articles/prehistoric-calculus-discovering-pi/

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